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2013年9月12日 (木)

論理的な考え方について

 「数学のまなび方 (ちくま学芸文庫) [文庫]彌永 昌吉 (著)」 を、もう一度読みなおしている。これで、今まで数学に関して、整理できていなかったことが、しっかり整理できたと思う。今回の気付きは、幾何学の構成である。この本は、以下の階層構造でうまくまとめている。

  1. 直感的に図を描いて知るレベル・・・小学校
  2. 局所的な証明を行うレベル   ・・・中学校
  3. 体系的に展開する理論     ・・・高校のユークリッド幾何学
  4. 完全に公理化した幾何学    ・・・大学のヒルベルト幾何学

ここでまず気が付いたことは、3と4の違いである。どちらも公理・定義から展開するが、ユークリッド幾何学は、実際の図形の直観的イメージに足を置くところがある。図形を重ねるなどと言う部分は直観的に理解している。
 一方、完全に公理化すると、そのような直観要素が一切排除される。つまりモデル上の操作での推論は許されない。これで、数論の本を読んだ時のもやもやも晴れたように思う。
 もう一つ、自分で図を書く、小学校レベルの大切さも、再認識した。これが少ないと、理解が浅くなるように思う。

 

 

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