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2015年10月17日 (土)

幾何学を体系的に習う利点

 幾何学と言うものについて、色々と考えてみた。自分が学んできた幾何学は、中学までで、高校では、ユークリッド幾何学を学ぶ機会はなかった。その代りベクトルの扱いを少し学んだ程度である。
 ちくま学芸文庫には、色々とよい本があるが、「数学序説」と「数学のまなび方:彌永昌吉著」を読むと、高校時代にユークリッド幾何学を学ばなかったのは、大きな損失だと解った。
研究者の道などに進むとき、ユークリッド幾何学の定義・公理から、各種定理を体系的に導いていく仕組みを、理解しているか否かの違いは大きなものがある。本当は、ユークリッド幾何学をある程度理解した上で、ヒルベルトの幾何学が何故良いのか、そこまで理解しておきたい。
 これがきちんと理解できていると、科学哲学も見通し良く解るようになる。そして、数学のようにしっかりした公理から議論を出来る分野と、想でない分野の違いも判るようになると思う。物理学には、数学と違い、現実の世界から得る根拠がある。一方、社会科学などでは、ある前提で社会を切り出して議論するから、公理ではなく前提である。
 しかし、今まで教わってきた、数学などは、その問題を解くための前提として、必ずしも明示的に与えられていない条件を使って、定理の証明を行っていた。私の中学校の記憶では、『中点連結の定理』で数学試験の多くの問題が解ける、という風な経験的な悪知恵があった。この時、『中点連結の定理』を証明した経験がなくても、それを使っていたように思う。
 これは、「数学のまなび方」でいう、『ターレスの段階』である。こうして、根拠や前提の吟味をしない。用語の定義を鵜呑みにする。また他人も自分と同じ意味に考えると思い込む。これは、学問を進めるためには、一つの病気である。
 この対策として、幾何学の体系的教育が必要だと思う。
 なお、群論や整数論を、体系化して教えろと言う考えもあるが、群論を教えるなら、ガロア理論まで行かないと、とてもそのありがたさが解らないのではと思う。

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